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[지식의 시추선] 사다리는 왜 항상 짝이 맞을까?
이지윤 기자 | 승인 2006.09.04 00:00

야심한 시각, 여기는 동아리 방. 가을이 다가 오는 걸까? 밤바람이 살랑살랑 부니 왠지 입이 심심하다. 심심함을 달래기 위해 무엇인가 먹고 싶지만 내가 사오기는 싫은데 어쩌지?

우리는 이럴 때면 예측할 수 없는 당첨 확률 속에 몸을 맡겨버린다. 바로 사다리타기! 사람의 수만큼 세로줄을 긋고 사이사이에 가로줄을 그은 뒤 타고 내려온다. 임의로 그린 사다리이지만 중복 없이 사람과 당첨 결과는 정확하게 한개씩 짝지어진다. 좀 신기하지?

원리가 뭘까? 예측할 수 없는 확률 게임일까? 그렇지 않다. 사다리 타는 방법을 조금 변형해서 쉽게 이해해보자. 세 명의 사람은 사다리의 각 세로줄마다 서 있고, 세 개의 서로 다른 공을 들고 있다.(동건:1, 진아:2, 도진:3) 그리고 동시에 사다리의 아래쪽을 향해 내려간다. 원래대로라면 가로줄을 만날 때 이동하지만, 여기서는 무조건 자신의 세로줄을 따라 계속해서 내려간다. 대신에, 가로줄을 만나면 가로줄로 연결된 상대방과 공을 교환한다. 사다리의 끝에 왔을 때, 자신의 손에 있는 공이 당첨 결과다.

결과는 사다리타기의 규칙대로 탔을 때와 같다. 설명한 방법에서는 하나의 세로줄에 각 사람이 고정돼 있고, 당첨 결과에 해당하는 공이 교환을 통해 이동했다. 하지만 사다리타기에서는 공이 결과로 고정돼 있고, 사람이 이동하는 것이므로 결국 같다. 또한 공이든 사람이든 교환은 반드시 두 명(개)간에 쌍방으로 이뤄지므로, 동시에 같은 속도로 출발하지 않고 한 사람씩 순차적으로 사다리를 타도 중복되지 않는 것이다.

수학적으로 보자면, 사다리가 일대일 대응 함수인 세로줄들의 합성이기 때문이다. 즉, 사다리도 일대일 대응 함수다. 정의역은 세 명의 사람 집합이고 공역은 세 개의 당첨 결과 집합이다. 사실 사다리를 위 그림과 같이 생각해보면 세로줄이 지그재그로 얽힌 것으로 나타난다. 결국 사람이 사다리를 탔던 경로는 하나의 세로줄로 펴지고, 이것은 곧 정의역의 원소 한 개와 공역의 원소가 한 개씩 대응하는 형태의 일대일 대응 함수인 것이다.

사다리타기의 원리는 의외로 간단하다. 좀 신기하니?

이지윤 기자  oxiclean@konkuk.ac.kr

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